Principio de Arquímedes

El principio de Arquímedes

¿Cómo lo hacen los submarinos y los peces para permanecer quietos a cierta profundidad, sumergirse y emerger? ¿Por qué para los pájaros esto es imposible sin aletear? ¿Cómo funcionan los chalecos salvavidas? ¿Por qué flotan los témpanos de hielo? ¿Por qué las burbujas de aire en el agua, o de gas en las bebidas, siempre ascienden?

Si colocamos sobre agua (figura 65) distintos objetos: madera, plástico, papel, clavos, cubos de hielo, un barquito de papel, etc., veremos que algunos flotan y otros se hunden. Pero esto no depende únicamente del material, también depende de la forma que este tenga. Si con un mismo trozo de plasticina construyes una bola y un disco ahuecado, verás que el primero se hunde mientras que el segundo flota, según se ilustra en la figura 66. Por la misma razón un clavo de hierro se hunde y un barco, del mismo material, flota. Todas estas preguntas y los hechos señalados encuentran su explicación en el principio de Arquímedes. Para saber más sobre Arquímedes lee el recuadro de la figura 67. 

Este célebre principio se puede formular del siguiente modo: Sobre un cuerpo sumergido en un líquido actúa una fuerza, de abajo hacia arriba (el empuje), que es igual al peso del líquido desalojado.

El análisis de la figura 68 te ayudará a entender esto. Al sumergir la piedra el nivel del líquido sube, poniendo en evidencia el líquido desalojado por la piedra. Al mismo tiempo, es claro que los volúmenes de la piedra y el líquido desalojado son iguales. Ahora bien, el peso de este líquido, es decir, su masa multiplicada por la aceleración de gravedad, es igual a la magnitud de la fuerza que actúa sobre la piedra, de sentido opuesto al peso y que, por lo tanto, la haría sentir más liviana. 

Nadie sabe cómo Arquímedes llegó a esta conclusión, pero se conoce bien la leyenda según la cual el rey Herón de Siracusa encargó al genio averiguar si la corona de oro que le había hecho un orfebre, contenía todo el oro que le habían entregado para su fabricación. Según se dice, hizo el descubrimiento cuando se estaba bañando, y tan contento se puso que salió desnudo y con la corona en sus manos gritando por las calles de su ciudad “¡Eureka! ¡Eureka!...”, en señal de que había hallado la solución al problema.

Ahora bien, lo interesante es comprender que el principio de Arquímedes es una consecuencia de la presión hidrostática. Para entender este punto sigamos el siguiente análisis ayudados por la figura 69. Allí se muestra un líquido de densidad D y sumergido en él un cuerpo cilíndrico de altura H y área A en su parte superior e inferior. Según [3], en la superficie superior la presión es P₁ = Dgh₁, donde h₁ es la profundidad a que se encuentra dicha superficie. Igualmente, en la superficie inferior es P₂ = Dgh₂. Arriba la fuerza producida por la presión actúa hacia abajo y la de abajo actúa hacia arriba, siendo mayor esta última dado que h₂ > h₁.

Los valores de estas dos fuerzas deben ser F₁ = P₁A y F₂ = P₂A, respectivamente, con lo cual la fuerza total resultante a la presión que aplica el fluido, ya que las fuerzas laterales se anulan, es:

F = F₂ – F₁;

es decir,

F = (P₂ – P₁)A,

o bien,

F = (Dgh₂ – Dgh₁)A;

lo que se puede escribir como:

F = Dg(h₂ – h₁)A = DgHA;

Pero como el volumen del cilindro, y también el del líquido desalojado, es V = HA, encontramos que la fuerza que actúa hacia arriba y corresponde al empuje E es:

E = DgV                                      [6]

Como la masa del líquido desalojado es, según [1],

m = DV,

el empuje corresponde a

E = mg,

que es el peso del líquido desalojado. Así, hemos demostrado, gracias a las matemáticas, el principio de Arquímedes.

No es muy difícil comprender que este es un resultado general; es decir, no depende de la forma del cuerpo que esté sumergido.

Empuje y peso aparente

Todos hemos experimentado la sensación de sentirnos más livianos cuando estamos sumergidos en agua. Ello no se debe a una reducción de nuestro peso, sino a la presencia del empuje.

Si haces el experimento que se ilustra en la figura 70, podrás constatar que en apariencia el peso de una piedra se reduce al sumergirla en agua. Por ejemplo, si al colgar la piedra del dinamómetro este indica que el peso de la piedra es de 10 newton (a) y al sumergirla en agua (b) indica 8 newton, ello se debe a que sobre la piedra, además de la fuerza de gravedad, está actuando el empuje que ejerce el agua. El peso de la piedra es 10 newton, su peso aparente 8 newton y el empuje 2 newton. 

Debes notar que, si consideramos que la densidad del agua es 1.000 kg/m³ y la aceleración de gravedad 10 m/s², entonces, con la ecuación [6] podemos determinar el volumen de líquido desalojado y el de la piedra (que es el mismo). En efecto,

;

por lo tanto:

= 0,0002 m³ = 200 cm³

También es importante notar que si conociéramos el volumen de la piedra, la medición del empuje con esta metodología y la expresión [6] nos permitirían determinar la densidad D del líquido en que la hemos sumergido. Este es el principio del densímetro.

Empuje y flotabilidad

Sabemos que algunos objetos flotan sobre los líquidos y otros se hunden. Más exactamente, como lo indica la figura 71, hay tres posibilidades. Si el peso del objeto es mayor que el empuje (a), este se hunde hasta llegar al fondo del recipiente; si es igual al empuje (b), permanecerá “entre dos aguas”; y si es menor que el empuje (c), el cuerpo saldrá a flote y emergerá del líquido reduciéndose el empuje hasta hacerse igual al peso.

En la figura 72 se ilustra este último caso con más detalle. En (a) el cuerpo está completamente sumergido, pero como el empuje es mayor que su peso, está ascendiendo. Luego llegará a la posición que se indica en (b), pero igual que antes, seguirá ascendiendo. Desde este momento en adelante parte del cuerpo quedará por encima del nivel del líquido y el empuje se empezará a reducir, hasta hacerse igual a su peso. En este momento el cuerpo flotará en equilibrio. Las flechas azules indican el sentido del movimiento del cuerpo. En los líquidos en general, en tanto, las burbujas de aire u otros gases ascienden igual que un corcho, y lo hacen por la misma razón.

Problema:

En la figura 73 se ilustra un trozo de madera que flota en equilibrio sobre el agua. ¿Qué parte de él sobresale del agua?

Solución:

Si consideramos [1] tenemos que la masa del trozo de madera es: M = DV. Como la densidad de la madera es 0,42 g/cm³, tomando en cuenta las medidas dadas en la figura 73, tenemos que:

M = 0,42 g/cm³ · 10 cm · 10 cm · 8 cm

M = 336 g

Por lo tanto su peso es

F_g = mg = 0,336 kg · 10 m/s² = 3,36 newton.

Esta fuerza debe ser igual al empuje que ejerce el agua, dado que la madera está en equilibrio. Luego, considerando [6] podemos escribir:

3,36 newton = 1.000 kg/m³ · 10 m/s² · 0,10 cm · 0,10 cm · y

de donde

y = 0,0336 m = 3,33 cm;

por lo tanto, como x + y = 8 cm, tenemos que

x = 4,64 cm.

Es importante advertir que el empuje no solamente actúa sobre cuerpos sumergidos en líquidos. En efecto, también actúa sobre los cuerpos sumergidos en la atmósfera. Por ejemplo, un globo lleno de helio, como el que sostiene la persona de la figura 74, asciende porque el empuje que el aire le aplica es mayor que su peso, siendo lo mismo lo que ocurre con los globos aerostáticos. Pero, por extraño que parezca, también actúa sobre las personas y todas las cosas que nos rodean. En otras palabras, cuando nos subimos a una pesa, ella marca un poco menos de lo que marcaría si la atmósfera no existiera. Por esta razón el procedimiento indicado en la figura 46 para determinar el “peso” del aire es incorrecto.

Hagamos una estimación del empuje que el aire le aplica a una persona. Si ella posee una masa de 60 kg y suponiendo que su densidad es igual a la del agua, tendremos que su volumen, considerando [1], es de 0,06 m³. Si la densidad del aire la consideramos igual a 1,29 kg/m³, entonces, según [6], el empuje que él ejerce sobre esta persona es del orden de 0,77 newton, que se puede despreciar si se lo compara con los 600 newton de su peso.

Ahora te mostraremos un juego entretenido. Introduce un gotario a medio llenar con agua en una botella plástica casi llena de agua, según se ilustra en la figura 75, y de modo que flote. Al cerrar la botella y presionar con los dedos sus paredes, podrás constatar que el gotario desciende y, al dejar de presionar la botella, asciende. Este juguete, conocido como ludión o diablillo de Descartes (pues a él se le atribuye su invención), se explica en base al principio de Arquímedes. ¿Cuál es esa explicación?

Para que este juguete funcione como lo hemos descrito y sea sensible a la débil presión que con las manos ejerzamos sobre los costados de la botella, es preciso ajustar el agua dentro del gotario de modo que, cuando flote sobre el agua, esté casi a punto de hundirse en ella.

La capilaridad y la tensión superficial

Al introducir diferentes objetos en agua u otros líquidos, observarás que las zonas en que dichos objetos están en contacto con la superficie de tales líquidos adoptan curvaturas especiales, que llamaremos meniscos. Si el objeto es un tubo capilar, inferior a unos 4 mm de diámetro interior, observarás que el nivel que alcanza el líquido dentro y fuera del tubo es diferente. También podrás constatar que algunos líquidos mojan de manera diferente los objetos; pero en algunos casos los líquidos no mojan en lo absoluto a los objetos, como es el caso del mercurio y el vidrio. En la figura 76 se ilustran los distintos efectos señalados hasta aquí. 

Si bien estos efectos son pequeños y en la vida diaria suelen pasar desapercibidos, son de gran importancia y en muchos casos resultan de gran utilidad práctica. Estos fenómenos ocurren debido a que las moléculas de los distintos materiales interactúan eléctricamente con las moléculas de los líquidos y fluidos en general. Cuando el líquido moja al objeto, estas fuerzas son atractivas, y cuando no los mojan, repulsivas. Por otra parte, en las superficies de los líquidos estos átomos y moléculas se atraen entre sí más fuertemente que en otros lugares, produciendo lo que se denomina tensión superficial. El que los líquidos puedan ascender por delgados tubos se denominacapilaridad.

A continuación señalaremos distintas situaciones corrientes en que tales fenómenos tienen lugar. Es importante que realices las observaciones y experimentos que se proponen y te convenzas por ti mismo de lo que aquí se dice. Si calientas en un mechero un tubo capilar de vidrio y lo estiras cuando se esté fundiendo de modo que se adelgace lo más posible, observarás que al introducir un extremo en agua esta asciende varios centímetros por el tubo, como se indica en la figura 77. Prueba con capilares de diferentes diámetros; el efecto puede llegar a ser sorprendente. Si agregas al agua una gota de tinta china, posiblemente verás que el colorante no asciende por el tubo. ¿Por qué ocurrirá esto? 

Hay papeles más absorbentes que otros. La publicidad de servilletas y toallas de papel suelen destacar esta propiedad. La figura 78 muestra el diseño de un experimento que permite evaluar este aspecto. Corta tiras de igual ancho pero de distintos papeles y cartones e introduce sus extremos en agua. Después de un rato verás que el agua asciende más en unos que en otros. ¿Qué fenómeno es el que está ocurriendo aquí? ¿Qué tienen los papeles que permiten que esto ocurra? 

Con un alambre muy delgado construye un resorte cuyas espiras posean unos 2 cm de diámetro y midan unos 10 cm de largo cuando entre las espiras haya alrededor de 5 mm de distancia. En su extremo conforma una argolla lo más plana posible. Lo que has construido es un dinamómetro de gran sensibilidad, útil para poner en evidencia la tensión superficial en líquidos. Si introduces la argolla en agua, como se indica en la figura 79, constatarás que al levantar el resorte este se estira. Compara la tensión superficial que producen diferentes líquidos: aceite, mercurio, alcohol, etc.

Si eres muy cuidadoso y paciente, posiblemente serás capaz de poner una aguja de cocer sobre el agua sin que se hunda (figura 79). Si no tienes tanta paciencia, puedes lograrlo pasando primero la aguja por una vela (parafina sólida). ¿Qué efecto producirá la espira?

Posiblemente has visto que algunos insectos pueden caminar sobre el agua, ¿cómo lo lograrán? Dato curioso: si una piscina estuviera llena de mercurio en vez de agua, podrías caminar por su superficie al igual que algunos insectos en el agua.

Si disuelves un poco de jabón en agua e introduces en ella una argolla, al sacarla podrás ver una delgada película de líquido que se sostiene en los bordes de la argolla. Si soplas suavemente podrás formar hermosas burbujas que vuelan por el aire hasta reventar en el momento de tocar un objeto. Al agitar la superficie del agua jabonosa también podrás ver que en ella se forman numerosas burbujas. ¿Cómo explicas la formación de las burbujas?

Otra observación interesante que tiene relación con los hechos descritos son las gotas en diferentes líquidos; ¿serán todas las gotas de agua del mismo tamaño? ¿Qué pasa con gotas de agua, alcohol, aceite y mercurio si se colocan sobre la superficie horizontal de un vidrio? ¿Qué diferencia tiene una gota de agua, colocada sobre un vidrio horizontal, comparada con la que se forma en una superficie de teflón? ¿Por qué los gásfiter emplean huinchas de teflón en las uniones de las cañerías de agua?

La capilaridad es aprovechada por el reino animal y vegetal, siendo de gran importancia para la vida. Por ejemplo, en todos los organismos hay una red capilar que lleva los nutrientes a los tejidos y los órganos, a través de la linfa en los vegetales, y de la sangre en los animales. La capilaridad contribuye significativamente a que la linfa llegue a más de 120 metros de altura en los grandes árboles. Si te interesa la biología puede resultar muy interesante que realices una investigación bibliográfica acerca de estos aspectos.